分散

概要

分散（ブンサン）は、データが平均からどれくらい散らばっているか（ばらつき）を表す指標。 各データの「平均との差」をそのまま足すと正負が打ち消し合うため、ズレを2乗して平均する。

計算方法

母分散（全体が母集団の場合）

データ \(x_1, x_2, \dots, x_N\) の平均を \(\mu\) とすると、

• 母分散：\(\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2\)

標本分散（標本から推定する場合）

データ数を \(n\)、平均を \(\bar{x}\) とすると、

• 標本分散：\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\)

※ \(n-1\) で割るのは、不偏分散（フヘンブンサン：母分散を平均的に正しく推定するよう調整した分散）にするため。

例

データ：\(2, 4, 6\)

• 平均：\(\bar{x}=(2+4+6)/3=4\)
• 差：\(-2, 0, 2\)
• 2乗：\(4, 0, 4\)
• 母分散：\((4+0+4)/3=8/3\)
• 標本分散：\((4+0+4)/(3-1)=4\)

分散と標準偏差の関係

• 標準偏差（ヒョウジュンヘンサ：分散の平方根）は

\(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\)、\(s=\sqrt{s^2}\)

• 分散は「2乗の単位」になる（例：cm²）ため、元の単位（cm）に戻したいとき標準偏差を使う。

使いどころ

• データのばらつき比較（例：テスト点の安定性）
• リスク評価（金融では収益率の分散が変動の大きさの目安）
• 機械学習の損失や最適化（平均との差の2乗を使う場面が多い）

よくある注意点

• 外れ値（ハズレチ：極端に大きい/小さい値）の影響を受けやすい（2乗するため）
• 「母分散（Nで割る）」と「標本分散（n-1で割る）」を混同しやすい